用“魔术简单性”解决的“黄金比例”和其他无理数的长期问题” https://www.space.com/”空间



大多数人很少处理不合理的数字,因为它们永远运行,所以很不合理,准确地表示它们需要无限的空间。但是诸如π和√2之类的非理性常数(无法将其简化为简单的分数)经常在科学和工程领域出现。自古希腊人以来,这些笨拙的数字就困扰着数学家。的确,有传说说希帕索斯 淹死的 暗示存在非理性。但是,现在,已经有80岁的人们对它们近似程度的困惑已经解决了。

许多人通过将无理数舍入为小数或小数来概念化无理数:将π估计为3.14,相当于157/50,导致人们广泛庆祝3月14日的Pi Day。然而,另一种近似值22/7更容易纠缠并更接近π。这提示了一个问题:这些近似值有多简单和准确?而且我们可以选择任意形式的分数吗?

1941年,物理学家理查德·达芬(Richard Duffin)和数学家阿尔伯特·舍弗(Albert Schaeffer)提出了一条简单的规则来回答这些问题。考虑一个近似各种无理数的探索。首先,确定特定分母的分数的近似程度。 (请记住,“分子”是指分数的顶部,而“分母”是指底部的。这里,所有分数均被完全简化了,因此,例如,2/4不会算作具有分母4,因为它简化了到1/2。)您可以决定表格的简化分数 ñ/ 2可以近似其真实值落在它们的1/10之内的任何无理数,从而使近似值的“错误”为1/10。看起来像的分数 ñ/ 10在数字线上比在分母2上更靠近,因此在这种情况下,您可以将误差限制为仅1/100,这些分数可以近似于它们的1/100之内。

通常,较大的分母与较小的误差相关联。如果这是真的,那么可以使用无穷多个分母来近似一个数以内的误差范围内,那么通过增加分母可以使近似值越来越好。 Duffin和Schaeffer的规则根据错误的大小来衡量何时可以执行此操作。

如果选择的误差总计足够小,则随机选择一个无理数 X 将仅具有有限数量的良好近似值:它可能落入具有特定分母的近似值之间的间隙中。但是,如果误差足够大,将有无数个分母产生一个良好的近似分数。在这种情况下,如果误差也随着分母变大而缩小,那么您可以选择一个尽可能精确的近似值。

未经证实

结果是,您几乎可以任意近似地近似每个数字,或者几乎没有一个。蒙特利尔大学的数学家Dimitris Koukoulopoulos说:“这是惊人的二分法。”而且,您可以根据需要选择错误,只要它们的总和足够大,大多数数字就可以无穷多种方式近似。这意味着,通过将一些误差选择为零,可以将近似值限制为特定类型的分数,例如,分母的幂仅为10的分数。

尽管看起来很小的错误会使得很难估计数字似乎合乎逻辑,但达芬和舍弗无法证明自己的猜想,其他人也没有。研究该问题的奥地利格拉茨工业大学数学家克里斯托夫·艾斯特利特纳(Christoph Aistleitner)说,该证明仍然是数论中的“一个具有里程碑意义的开放性问题”。也就是说,直到今年夏天,当Koukoulopoulos和他的合著者James Maynard在发布到预印服务器arXiv.org的一篇论文中宣布了他们的解决方案时。

牛津大学教授梅纳德说,达芬-舍弗(Duffin-Schaeffer)猜想“在通常很难解决和复杂的数学领域中具有如此神奇的简单性”。他偶然发现了这个问题-他是数字理论家,但与大多数Duffin-Schaeffer专家不在同一领域。 (他通常研究质数,即只能被自己和1整除的质数。)约克大学的一位教授建议梅纳德在那儿发表讲话后解决达芬-谢弗猜想。梅纳德说:“我认为他有一个直觉,那就是让某个人稍微远离那个直接领域可能会有所帮助。”事实证明这种直觉是正确的,尽管好几年都没有结果。在最初的交谈之后很长时间,Maynard怀疑与他的同事具有相关专业知识,因此建议与Koukoulopoulos合作。

Maynard和Koukoulopoulos知道,该领域的先前工作已将问题简化为一个关于分母的素数的问题,即素数乘以后得出分母 Maynard建议以数字阴影来思考问题:“想象一下,在数字行上,所有数字均以分母100逼近分数。” Duffin-Schaeffer猜想指出,如果误差足够大,并且每个误差都这样做可能的分母,几乎每个数字都会被无限多次着色。

对于任何特定的分母,仅数字部分会被上色。如果数学家可以证明,对于每个分母,足够不同的区域被上色,他们将确保几乎每个数字都被上色。如果他们还可以证明这些部分是重叠的,则他们可以得出结论,发生了很多次。捕捉这种不同但重叠区域的想法的一种方法是,证明由不同分母着色的区域彼此无关,它们是独立的。

但这实际上是不正确的,特别是如果两个分母共享许多主要因素。例如,可能的分母10和100共享因子2和5,以及可以由以下形式的分数近似的数字 N / 10 表现出令人沮丧的重叠,可以用分数近似 N / 100

绘制问题

Maynard和Koukoulopoulos通过用数学家称为图的网络(一堆点,其中一些由线(称为边)连接)来重新定义问题,从而解决了这个难题。他们图表中的点表示研究人员想要用于近似分数的可能分母,如果两个点有许多共同的素数,则两个点通过一条边连接。在允许的分母具有不必要的依赖性的情况下,图恰好具有很多边缘。

使用图可以使两位数学家以新的方式可视化问题。梅纳德说:“您需要的最大见解之一就是忘记问题的所有不重要部分,而只考虑使它变得非常特殊的一两个因素。”他说,使用图形,“不仅可以让您证明结果,而且还可以真正告诉您问题中正在发生的事情。” Maynard和Koukoulopoulos推论出,具有许多边的图形与特定的,高度结构化的数学情况相对应,他们可以分别进行分析。

两人的解决方案使该领域的许多人感到惊讶。 Aistleitner说:“总的感觉是这还没有解决。” “使用(图形)的技术可能会在将来被视为与实际的Duffin-Schaeffer猜想同样重要(可能比它更重要)”,美国大学退休教授Jeffrey Vaaler说。得克萨斯州奥斯汀市的人,在1978年证明了这一猜想的特例。

其他专家可能需要几个月的时间才能了解全部详细信息。 “现在的证明是一个漫长而复杂的证明,” Aistleitner说。 “仅仅拥有一个醒目的,绝妙的主意还不够。在44页密集的技术数学中,即使是顶尖的数学家也需要时间将头围在纸上。但是,社区似乎很乐观。瓦勒说:“这是一张漂亮的纸。我认为这是正确的。”

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